题目内容

阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h₁，到AC的距离PF=h₂，到BC的距离PH=h₃．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h₁=

1

2

h，h₂=

1

2

h，因此得到：h₁+h₂=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h₁+h₂=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

BC•AD=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF
∴

1

2

a•h=

1

2

a•h₁+

1

2

a•h₂．
∴h₁+h₂=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁，h₂与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5

画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．

分析：（1）首先确定当点P在BC的延长线上，上述结论不成立；应为：h₁-h₂=h．然后连接AP，利用三角形面积的方法，即可求得答案；
（2）此问为开放题，答案不唯一，只要学生能够结合图形，合理提出问题，猜想出结论即可，注意解题的方法也是利用三角形面积的方法．

解答：

解：（1）当点P在BC的延长线上，上述结论不成立；
应为：h₁-h₂=h．
证明：如图，连接AP．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

BC•AD=

1

2

AB•PE-

1

2

AC•PF．
∴

1

2

a•h=

1

2

a•h₁-

1

2

a•h₂．
∴h₁-h₂=h．

（2）如图：当点P在CB的延长线上时，h₂-h₁=h．
此问为开放题，答案不唯一，只要学生能够结合图形，合理提出问题，猜想出结论即可．

点评：此题考查了学生的阅读分析能力与等边三角形的性质，以及利用面积法解题的知识．此题难度不大，注意分析，注意数形结合思想的应用．

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阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²，通过配方可对a²+b²进行适当的变形，如a²+b²=（a+b）²-2ab或a²+b²=（a-b）²+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值．
解：a²+b²=（a+b）²-2ab=5²-2×3=19．
问题：（1）已知a+

；
（2）已知a-b=2，ab=3，求a⁴+b⁴的值．

30、阅读下列材料，解答问题：
材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：①印花税：按成交金额0.1%计算；②过户费：按成交金额的0.1%计算；③佣金：按不高于成交金额的0.2%计算（本题按0.2%计算），不足5元按5元计算．
某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“交通银行”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利

阅读下列材料，解答下列问题
如图（1），射线AD、BE、CF构成∠1、∠2、∠3，若∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，则∠1+∠2+∠3=

；
因为∠2=180°-∠ACB，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
所以∠2=180°-（180°-∠BAC-∠ABC）
=∠BAC+∠ABC
因为∠2=∠ACE，即：∠ACE=∠BAC+∠ABC

如图（2），在△ABC中，∠A=a，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…；∠A₆BC与∠A₆CD的平分线相交于点A₇，得∠A₇=

；∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的平分线相交于点A_n，得∠A_n，求∠A_n（写出推理过程）．

阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h₁，到AC的距离PF=h₂，到BC的距离PH=h₃．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h₁= $数学公式$ h，h₂= $数学公式$ h，因此得到：h₁+h₂=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h₁+h₂=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ $数学公式$ BC•AD= $数学公式$ AB•PE+ $数学公式$ AC•PF
∴ $数学公式$ a•h= $数学公式$ a•h₁+ $数学公式$ a•h₂．
∴h₁+h₂=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁，h₂与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．