Question

已知抛物线，

（1）若求该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若 ，证明抛物线与x轴有两个交点；

（3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值.

 

Answer 1

（1）（-1，0）和（，0）；（2）证明见解析；（3）3或．

【解析】

试题分析：（1）将a、b、c的值代入，可得出抛物线解析式，从而可求解抛物线与x轴的交点坐标.

（2）把代入抛物线解析式，表示出方程的判别式的表达式，利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论.

（3），则抛物线可化为，其对称轴为x=-b，以-1≤x≤2为区间，讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．

（1）当时，抛物线为，

∵方程的两个根为x1=-1，x2=，

∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（，0）.

（2）当时，抛物线，

设y=0，则，

∴，

∴抛物线与x轴有两个交点.

（3），则抛物线可化为，其对称轴为x=-b，

当-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，

此时-3=（-2）2+2×（-2）b+b+2，

解得：b=3，符合题意.

当-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，

此时-3=22+2×2b+b+2，

解得：b=，不合题意，舍去．

当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时取最小值为-3，

此时-3=（-b）2+2×（-b）b+b+2，

化简得：b2-b-5=0，

解得：b1=（不合题意，舍去），b2=.

综上可得：b=3或b=．

考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数的最值；3.分类思想的应用．