Question

在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=，点P是AB上一动点，（点P不与点A、点B重合），过点P作PQ∥AD交BD于Q，连结CQ，设AP的长为x，四边形QPBC的面积为y．
（1）计算平行四边形ABCD的面积；
（2）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
（3）是否存在实数x，使得S_△BPQ=S_△BCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DH⊥AB垂足为H，过Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，求出DH，根据面积公式求出即可；
（2）求出QR，QK的值，分别求出△BPQ、△BDC、△DQC的面积，即可求出答案；
（3）根据（2）得出方程当•（5-x）•=×10-×5×，求出即可．
解答：
解：（1）作DH⊥AB垂足为H，过Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，
∵，
∴在Rt△ADH中，DH=AD•sinA=2，
∴S _□ABCD=AB•DH=5•2=10；

（2）∵PQ∥AD，
∴△BQP∽△BDA，
∴=，=
∴=，=
∴PQ=，QR=，
∴QK=2-=，
∴y=S_△BPQ+S_△BDC-S_△DQC=•（5-x）•+×10-×5×，
y=x²-3x+10（0＜x＜5）；

（3）不存在实数x，使得S_△BPQ=S_△BCQ，
理由是：假设存在x，使S_△BPQ=S_△BQC，
则•（5-x）•=×10-×5×                                
解得  x₁=0或x₂=5                         
∵0＜x＜5，
∴不存在实数x，使S_△BPQ=S_△BCQ．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力，注意：相似三角形的对应高之比等于对应边之比．