Question

（2012•高新区一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：
①∠ABP=∠AOP；②

BC

=

DF

；③AC平分∠PAB；④2BE²=PE•BF，
其中结论正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：首先连接OB，根据切线长定理得PA=PB，∠APO=∠BPO；易证得△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP，即

AC

=

BC

；再根据这些基础条件进行判断．

解答：解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO；
又PO=OP，
∴△APO≌△BPO，
∴∠AOP=∠BOP，
∴

AC

=

BC

；
①∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA=∠AFB，
由

AC

=

BC

，得∠AFB=∠AOP，
∴∠PBA=∠AOP；
故①正确；
②∵∠AOC=∠BOC=∠FOD，
∴

AC

=

BC

=

FD

；
故②正确；
③同①，可得∠PAB=∠AOC；
∵

AC

=

BC

，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠EAC=

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOC，
∴∠EAC=

1

2

∠PAB，
∴AC平分∠PAB；故③正确；
④在△PEB和△ABF中，

∠PEB=∠APF=90° ∠PBE=∠AFB

，
∴△PEB∽△ABF，
∴BE：PE=BF：AB=BF：2BE，即2BE²=PE•BF，
故④正确；
综上所述，正确的结论共有4个；
故选D．

点评：此题主要考查的是切线的性质，涉及的知识点有：圆周角定理，全等三角形的判断和性质，切线长定理，圆心角、弧、弦的关系等．