Question

如图，已知在四边形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．
（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形并证明之；
（2）当∠A的大小满足什么条件时四边形BECF是正方形？并证明你的结论．
（3）若四边形BECF的面积是6（cm）²且BC+AC=

105

cm时，求AB．

Answer 1

分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度；
（3）根据菱形的面积公式可知：BC•EF=6×2（cm）²，又BC+AC=

105

cm，再根据勾股定理即可求出BE的长，继而得出AB的长．

解答：解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠3=∠1，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

（3）∵CF=AE，四边形BECF是菱形，
∴CF

∥

.

AE，
∴四边形AEFC为平行四边形，
∴EF=AC，
根据菱形的面积公式可知：

BC•AC

2

=6（cm）²，
∴BC•AC=6×2=12（cm）²，
又∵BC+AC=

105

cm，
∴（BC+AC）²-2BC•AC=BC²+AC²=105-2×12=81（cm）²，
∴AB=2BE=2×

BC2 4 + AC2 4

=9cm．

点评：本题考查菱形的判定和性质，以及正方形的判定，有一定难度，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法及性质并灵活运用．