题目内容
如图，点A1，A2，A3，…，An-1，An为x轴的正半轴上的点，OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1，分别以A1，A2，A3，…，An-1，An为直角顶点作Rt△OA1B1，Rt△A1A2B2，Rt△A2A3B3，…，Rt△An-1AnBn，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn，且S1=1；双曲线恰好经过点B1，B2，B3，…，Bn．（1）求双曲线和直线A1B2对应的函数解析式；
（2）填空：S10=
（3）若直线B1O交双曲线于点P，在这系列直线：A1B2，A2B3，…，An-1Bn中存在经过点P的直线吗？若存在，直接找出来．
分析：（1）若要求双曲线解析式，只需求出双曲线上的一个点有坐标即可，由题意，可从B点入手；
（2）在第n个三角形中，An点坐标为（n，0）．Bn横坐标为n，代入（1）中求得的解析式可得出Bn点坐标，从而求出ABn代Rt△An-1AnBn面积公式Sn=
An-1An×AnBn求出第n个三角形的面积表达式，再代入n的值即可求得所要求得的三角形的面积．
（3）求出P点坐标，再解出直线An-1Bn的通式，代入P点坐标验算．
（2）在第n个三角形中，An点坐标为（n，0）．Bn横坐标为n，代入（1）中求得的解析式可得出Bn点坐标，从而求出ABn代Rt△An-1AnBn面积公式Sn=
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（3）求出P点坐标，再解出直线An-1Bn的通式，代入P点坐标验算．
解答：解：（1）由于A1（1，0）S1=
OA1×A1B1=1
∴A1B1=2
即：B1（1，2）
①设双曲线为：y=
，代入B1（1，2）得：k1=2
∴双曲线为：y=
②∵A2坐标为（2，0）
∴B2横坐标为2，代入双曲线解析式得B2坐标为：（2，1）
设直线A1B2解析式为：y=k2x+b
代入A1（1，0）和B2（2，1）得
解得：
∴直线A1B2对应的函数解析式为y=x-1；
（2）由于An坐标为（n，0）即Bn横坐为n
将Bn横坐标代入双曲线解析式中得
Bn(n，
)
Sn=
An-1An×AnBn=
×1×
=
∴S10=
（3）OB1直线方程为y=2x
由
得
，
，
∴P点坐标为：（-1，-2）
由An-1（n-1，0），Bn（n，
）可得直线An-1Bn对应的函数解析式为：
y=
x+
-2
即：y=
(x+1)-2
恒过点（-1，-2），
∴直线A1B2，A2B3，An-1Bn都经过点P（-1，-2）．
| 1 |
| 2 |
∴A1B1=2
即：B1（1，2）
①设双曲线为：y=
| k1 |
| x |
∴双曲线为：y=
| 2 |
| x |
②∵A2坐标为（2，0）
∴B2横坐标为2，代入双曲线解析式得B2坐标为：（2，1）
设直线A1B2解析式为：y=k2x+b
代入A1（1，0）和B2（2，1）得
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|
∴直线A1B2对应的函数解析式为y=x-1；
（2）由于An坐标为（n，0）即Bn横坐为n
将Bn横坐标代入双曲线解析式中得
Bn(n，
| 2 |
| n |
Sn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| n |
| 1 |
| n |
∴S10=
| 1 |
| 10 |
（3）OB1直线方程为y=2x
由
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∴P点坐标为：（-1，-2）
由An-1（n-1，0），Bn（n，
| 2 |
| n |
y=
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
即：y=
| 2 |
| n |
恒过点（-1，-2），
∴直线A1B2，A2B3，An-1Bn都经过点P（-1，-2）．
点评：此题考查了双曲线与直线的运用，将直线与双曲线解析式联立可求出交点坐标．解题时找出规律求出通式寻找合理的解题方法将是解决此题的关键．
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