Question

【题目】概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

（1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：　 　．

（2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质）

Answer 1

【答案】（1）AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）GE＝．

【解析】

(1)利用勾股定理即可得出结论；

(2)先判断出CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助(1)的结论即可得出结论．

(1)结论：AD2+BC2=AB2+CD2，

如图1中，设BD交AC于E．

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．

(2)连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=．