Question

已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图所示。

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

(第24题)

(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴

依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。

(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

Answer 1

 (1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA

              ∴，即

              ∴

              ∴点C的坐标是(0，)

              由题意，可设抛物线的函数解析式为

              把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得

                           

              解这个方程组，得

              ∴抛物线的函数解析式为

   解法2：由勾股定理，得

           又∵OB=3，OA=1，AB=4

           ∴

            ∴点C的坐标是(0，)

            由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入

            函数解析式得

            所以，抛物线的函数解析式为

(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF

          理由如下：

          可求得直线的解析式为，直线的解析式为

          抛物线的对称轴为直线

          由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0)

          ∴KD=，DE=，EF=

          ∴KD=DE=EF

解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF

       理由如下：

       由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得

       ，，

       由顶点D坐标(，)得

       ∴KD=DE=EF=

(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点

          ∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形

          (ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形

          (iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，

          ∴KD=DC

          此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形；

          综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。

解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。

       理由如下：

       (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，)

       又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB

       ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形

       ∴△CGK为正三角形

       ∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，)

       (ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形

       ∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)

       (iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点

A、C、K在同一直线上，不能构成三角形

       综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三

角形。