Question

4．如图，∠AOB=90°，反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象过点A（-1，a），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．
（1）求a和k的值；
（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=$\frac{k}{x}$于另一点C，求△OBC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，a）代入反比例函数y=-$\frac{2}{x}$得到A（-1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；
（2）求的直线AO的解析式为y=-2x，设直线MN的解析式为y=-2x+b，得到直线MN的解析式为y=-2x+10，解方程组得到C（1，8），于是得到结论．

解答 解：（1）∵反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象过点A（-1，a），
∴a=-$\frac{2}{-1}$=2，
∴A（-1，2），
过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，
∴AE=2，OE=1，
∵AB∥x轴，
∴BF=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，
∴$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}$，
∴OF=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8；
（2）∵直线OA过A（-1，2），
∴直线AO的解析式为y=-2x，
∵MN∥OA，
∴设直线MN的解析式为y=-2x+b，
∴2=-2×4+b，
∴b=10，
∴直线MN的解析式为y=-2x+10，
∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（5，0），N（0，10），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，8），
∴△OBC的面积=S_△OMN-S_△OCN-S_△OBM=$\frac{1}{2}×$5×10-$\frac{1}{2}$×10×1-$\frac{1}{2}$×5×2=15．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．