Question

如图，在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F，若

CF

长为

2π

3

，．
（1）求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．

Answer 1

分析：（1）根据弧长公式l=

nπR

180

，即可求得∠CBF的度数；
（2）根据（1）的结论，求得∠ABF=30°．再根据直角三角形的性质可以求得AB、AF的长，从而求得DF的长．则阴影部分的面积等于梯形BCDF的面积减去扇形BCF的面积．

解答：解：（1）设∠CBF的度数为n°，
由l=

nπR

180

，得n=

180l

πR

．
所以n=

180× 2 3 π

2π

=60，即∠CBF=60°．

（2）由∠ABC=90°，∠FBC=60°，
得∠ABF=30°．
在Rt△ABF中，AB=BF•cos∠ABF=

3

=CD，
AF=

BF2-AB2

=1，
所以FD=AD-AF=1．
S梯形DFBC=

1

2

(DF+BC)•CD=

3

2

3

，
所以S_阴影=S_梯形DFBC-S_扇形BCF=

3

2

3

-

2

3

π．

点评：熟练运用弧长公式和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质．30°所对的直角边是斜边的一半．