Question

如图所示，工作流程线上放置着5个机器人：A，B，C，D，E；还放着一只工具箱．5个机器人取工具的次数相同． (1) 如果AB＝BC＝CD＝DE，那么将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花费的时间最少？ (2) 如果5个机器人并非均匀地置于流程线上，只是A，E两个的位置与(1)中相同，那么工具箱又应该放在何处？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：应将工具箱放在流程线的中点，即图中点C处．理由如下： 设AB＝1．当工具箱放在点C处时，每个机器人取一次工具所走距离的和为2×(AC＋BC＋DC＋EC)＝12． 当工具箱放在B，C之间的点F处：设BF＝x，则0＜x＜1，这时2(AF＋BF＋CF＋DF＋EF)＝2[(1＋x)＋x＋(1－x)＋(2－x)＋(3－x)]＝2(7－x)＞12 当工具箱放在点A，B之间的点G处(含A，B两点)时：设AF＝x，则0≤x≤1，这时2(AG＋BG＋CG＋DG＋EG)＝2[x＋(1－x)＋(2－x)＋(3－x)＋(4－x)]＝2(10－3x)≥14 由图形的对称性可知，当工具箱放在点C右边某点时，每个机器人取一次工具所走距离之和均大于12，所以将工具箱放在AE的中点，即点C处，才能使机器人所花费的时间最少．
(2)	解：应将工具箱放在点C处(这时点C未必是AE中点)．理由如下：当工具箱放在点C处时，每个机器人取一次工具所走距离之和为2(AC＋BC＋DC＋EC)＝2(AE＋BD)如果放在点B，C之间的点M处，则AM＋BM＋CM＋DM＋EM＝AE＋BD＋CM＞AE＋BD 同样可说明放在其他位置时，五个机器人各取一次工具所走距离之和大于AE＋BD．所以，应将工具箱放在点C处．