题目内容
（2013•宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2-3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．（1）写出直线AB表达式；
（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（-
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| b |
| 2a |
分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B代入计算求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）若三角形POQ为等腰直角三角形，根据题意得到|PQ|=2t，将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标，将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标，两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；
（3）四边形APOQ的对角线互相垂直，由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式，求出S的整数值个数即可．
（2）若三角形POQ为等腰直角三角形，根据题意得到|PQ|=2t，将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标，将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标，两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；
（3）四边形APOQ的对角线互相垂直，由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式，求出S的整数值个数即可．
解答：解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，6）代入得：
，
解得：
，
则直线AB解析式为y=-2x+6；
（2）将x=t代入直线AB解析式得：y=-2t+6；
将x=t代入抛物线y=x2-3x解析式得：y=t2-3t，
∴|PQ|=-2t+6-t2+3t=-t2+t+6，
若△POQ为等腰直角三角形，则有2t=-t2+t+6，即t2+t-6=0，
解得：t=2或t=-3（舍去），
则t=2时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）∵OA⊥PQ，
∴S=
|OA|•|PQ|=
×3×（-t2+t+6）=-
t2+
t+9，
∵0＜S＜9
，∴S的整数值可能为1，2，3，4，5，6，7，8，9
当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，求出的t值在范围0＜t＜3中，
∴S的整数值有9个．
将A（3，0），B（0，6）代入得：
|
解得：
|
则直线AB解析式为y=-2x+6；
（2）将x=t代入直线AB解析式得：y=-2t+6；
将x=t代入抛物线y=x2-3x解析式得：y=t2-3t，
∴|PQ|=-2t+6-t2+3t=-t2+t+6，
若△POQ为等腰直角三角形，则有2t=-t2+t+6，即t2+t-6=0，
解得：t=2或t=-3（舍去），
则t=2时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）∵OA⊥PQ，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵0＜S＜9
| 3 |
| 8 |
当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，求出的t值在范围0＜t＜3中，
∴S的整数值有9个．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
练习册系列答案
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