我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆 .如果一条直线与“蛋圆只有一个交点.那么这条直线叫做“蛋圆的切线．如图.点A.B.C.D分别是“蛋圆与坐标轴的交点.AB为半圆的直径.半圆圆心M的坐标为(1.0).半圆半径为2．“蛋圆被平行于y轴的直线截得的最大弦长6．(1)写出“蛋圆抛物线部分的解析式及自变量的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．“蛋圆”被平行于y轴的直线截得的最大弦长6．
（1）写出“蛋圆”抛物线部分的解析式及自变量的取值范围；
（2）①“蛋圆”被y轴的直线截得的弦CD的长为$\sqrt{3}$+3；
②过点C的“蛋圆”切线交x轴于G，求G点的坐标；
（3）P点在线段OB上运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交BD于点F，连结DE和BE后，是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？若存在，请求出点E的坐标和△BDE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）过点M作GH∥y轴，交“蛋圆”于N、H，如图，则GH=6，由于NM=2，M（1，0），易得H（1，-4），再利用半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2可确定A（-1，0），B（3，0），于是可利用交点时求出
“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；
（2）①连结CM，如图，在Rt△OCM中利用勾股定理计算出OC=$\sqrt{3}$，根据y轴上点的坐标特征确定D（0，-3），则OD=3，所以CD=$\sqrt{3}$+3；
②由于GC切“蛋圆”的半圆于C，根据切线的性质得∠MCG=90°，根据含30度直角三角形三边关系，有OM=1，MC=2得到∠MCO=30°，则利用等角的余角相等得∠CGM=30°，所以MG=2MC=4，易得G（-3，0）；
（3）先利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x-3，设E（x，x²-2x-3），则F（x，x-3），所以EF=-x²+3x，根据三角形面积公式得S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，然后根据二次函数的性质解决问题．

解答解：（1）过点M作GH∥y轴，交“蛋圆”于N、H，如图，则GH=6，
∵NM=2，
∴MH=4，
而M（1，0），
∴H（1，-4），
∵半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2，
∴A（-1，0），B（3，0），
设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把H（1，-4）代入得a•2•（-2）=-4，解得a=1，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；
（2）①连结CM，如图，
在Rt△OCM中，∵OM=1，MC=2，
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则D（0，-3），
∴OD=3，
∴CD=OC+OD=$\sqrt{3}$+3；
故答案为$\sqrt{3}$+3；
②∵GC切“蛋圆”的半圆于C，
∴MC⊥CG，
∴∠MCG=90°，
∵OM=1，MC=2，
∴∠MCO=30°，
∴∠CGM=30°，
∴MG=2MC=4，
∴OG=GM-OM=4-1=3，
∴G（-3，0）；
（3）存在．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），D（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x-3，
设E（x，x²-2x-3），
∵PE⊥x轴，
∴F（x，x-3），
∴EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∵S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OP+$\frac{1}{2}$EF•BP=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S_△BDE有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，
此时E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．