Question

如图，已知A（4，0），点A₁、A₂、…、A_n-1将线段OAn等分，点B₁、B₂、…、B_n-1、B在直线y=0.5x上，且A₁B₁∥A₂B₂∥…∥A_n-1B_n-1∥AB∥y轴．记△OA₁B₁、△A₁A₂B₂、…、△A_n-2A_n-1B_n-1、△A_n-1AB的面积分别为S₁、S₂、…S_n-1、S_n．当n越来越大时，猜想S₁+S₂+…+S_n最近的常数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

分析：根据题意可得出A₁（

4

n

，0），A₂（

8

n

，0），…，A_n-1（

4(n-1)

n

，0），B₁（

4

n

，

2

n

），B₂（

8

n

，

4

n

），…，B_n-1（

4(n-1)

n

，

2(n-1)

n

），B（4，2），从而得出△OA₁B₁、△A₁A₂B₂、…、△A_n-2A_n-1B_n-1、△A_n-1AB的面积分别为

1

2

×

4

n

×

2

n

；

1

2

×

4

n

×

4

n

；…；

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

；

1

2

×

4

n

×2；则S₁+S₂+…+S_n=2+

2

n

，当n越来越大时，

2

n

接近于0，从而得出答案．

解答：解：∵A₁（

4

n

，0），A₂（

8

n

，0），…，A_n-1（

4(n-1)

n

，0），
B₁（

4

n

，

2

n

），B₂（

8

n

，

4

n

），…，B_n-1（

4(n-1)

n

，

2(n-1)

n

），B（4，2），
∴S₁=

1

2

×

4

n

×

2

n

；
S₂=

1

2

×

4

n

×

4

n

；
…；
S_n-1=

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

；
S_n=

1

2

×

4

n

×2；
∴S₁+S₂+…+S_n=

1

2

×

4

n

×

2

n

+

1

2

×

4

n

×

4

n

+…+

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

+

1

2

×

4

n

×2；
=

1

2

×

4

n

×

2+4+6+…+2n

n

；
=2+

2

n

，
∵当n越来越大时，

2

n

接近于0，
∴S₁+S₂+…+S_n最近的常数是2．
故选B．

点评：本题是一道规律性的题目，考查了一次函数，是综合题，求得点A₁、A₂、…、A_n-1和点B₁、B₂、…、B_n-1、B坐标是解题的关键．