Question

【题目】定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2+bx+c经过(﹣2，0)、(﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2+ex+f经过点(﹣3，3)．

（1）求b、c及a的值；

（2）已知抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线yn=x2﹣x﹣n（n为正整数）

①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．

②当直线y=x+m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．

③若直线y=k（k<0）与抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线yn =x2﹣x﹣n （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB=BC=CD时，求出k、n之间的关系式

Answer 1

【答案】(1)，，；(2)①是“同交点抛物线”，“同交点”为：(–1，0)、(3，0)，它们图形共同性质有：对称轴同为直线；②，且，；③

【解析】

(1)将(–2，0)、( –4，0)代入，即可求得b、c的值，设“同交点抛物线”的解析式为，将(–3，3)代入即可求得的值；

(2)①令和，分别求得与轴的交点坐标，即可作出判断；

②先求得直线与抛物线或抛物线只有一个交点时的值，除去直线经过“同交点”时的的值，即可求解；

③由和利用根与系数的关系求得和的值，再根据，得到即可求得答案．

(1) ∵抛物线经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：，

解得：，，

设“同交点抛物线”的解析式为，

将(–3，3)代入得：，

解得：，

故答案为：，，；

(2)①令，则，

解得：，

∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，

令，则，

解得：，

∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，

∴抛物线和抛物线是“同交点抛物线”，

它们图形共同性质：对称轴同为直线；

②当直线与抛物线y相交只有1个交点时，

由，得：，

由，

解得：，

抛物线的顶点坐标为(1，)，其中为正整数，

因为随着的增大，的顶点纵坐标减小，所以当直线与抛物线中时的抛物线相交只有1个交点时，

由，得：，

由，

解得：，

如图所示：

当直线经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，

把“同交点”(–1，0)代入得：，

把“同交点” (3，0)代入得：，

∴当直线与抛物线、有4个交点时，m的取值范围为：

，且，；

③设直线分别与抛物线和抛物线相交于A、D、B、C，如图：

由，得：，

∵，，

∴，

由，得：，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

整理得：．