题目内容
【题目】定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2+bx+c经过(﹣2，0)、(﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2+ex+f经过点(﹣3，3)．
（1）求b、c及a的值；
（2）已知抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线yn=
x2﹣
x﹣n（n为正整数）
①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．
②当直线y=
x+m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．
③若直线y=k（k<0）与抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线yn =x2﹣x﹣n （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB=BC=CD时，求出k、n之间的关系式
【答案】(1)
，
，
；(2)①是“同交点抛物线”，“同交点”为：(–1，0)、(3，0)，它们图形共同性质有：对称轴同为直线
；②
，且
，
；③
【解析】
(1)将(–2，0)、( –4，0)代入
，即可求得b、c的值，设“同交点抛物线”的解析式为
，将(–3，3)代入即可求得
的值；
(2)①令
和
，分别求得与
轴的交点坐标，即可作出判断；
②先求得直线
与抛物线
或抛物线
只有一个交点时
的值，除去直线经过“同交点”时的的值，即可求解；
③由
和
利用根与系数的关系求得
和
的值，再根据
，得到
即可求得答案．
(1) ∵抛物线经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：
，
解得：
，，
设“同交点抛物线”的解析式为，
将(–3，3)代入得：
，
解得：，
故答案为：，，；
(2)①令，则
，
解得：
，
∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，
令，则
，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，
∴抛物线
和抛物线
是“同交点抛物线”，
它们图形共同性质：对称轴同为直线；
②当直线与抛物线y相交只有1个交点时，
由
，得：
，
由
，
解得：
，
抛物线的顶点坐标为(1，
)，其中
为正整数，
因为随着的增大，的顶点纵坐标减小，所以当直线与抛物线中
时的抛物线相交只有1个交点时，
由
，得：
，
由
，
解得：
，
如图所示：
当直线经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，
把“同交点”(–1，0)代入得：
，
把“同交点” (3，0)代入得：
，
∴当直线与抛物线、有4个交点时，m的取值范围为：
，且，；
③设直线
分别与抛物线和抛物线
相交于A、D、B、C，如图：
由，得：
，
∵
，
，
∴
，
由，得：
，
∵
，
，
∴
，
∵，
∴，
∴
，
整理得：
．
