Question

【题目】若一次函数ymxn与反比例函数y同时经过点P(x，y)则称二次函数ymx2nxk为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．

（1）判断y2x1与y是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；

（2）已知：整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y存在“共享函数”y=(m+t)x2+(10mt)x2020，求m的值．

（3）若一次函数yxm和反比例函数y在自变量x的值满足mxm6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．

Answer 1

【答案】（1）存在共享函数，共享点的坐标为，；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据“共享函数”的定义联立一次函数和反比例函数，解方程即可求出共享点；

（2）根据“共享函数”与一次函数对应系数之间的关系列方程组，分别用表示和，再根据解不等式组求出的取值范围，该范围内的整数就是的值；

（3）根据“共享函数”定义列出解析式，根据二次函数的增减性对进行分类讨论，列出关于取最小值的方程，求出的值，进而确定“共享函数”解析式．

（1）联立，

解得，

则存在共享函数，共享点的坐标为，；

（2）根据题意得：，

解得．

∵，

∴

解得，

∴，

∴，

∴．

∵是整数，

∴；

（3）“共享函数”为：，对称轴为

①当，即时

函数在处，取得最小值3，

即：，

解得：（舍），；

②当时，

函数在处，取得最小值，

即：，

方程无解；

③当时，

函数在处．取得最小值，

即：，

解得：（舍去负值），

故的值为4或．

将和分别代入，得

“共享函数”的解析式为：或.