Question

17．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．

解答 （1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
由三角形外角的性质可知，∠AMP=∠ABM+∠EAM，即∠AMN+∠CMN=∠ABM+∠EAM，
∵∠AMN=∠ABM=90°，
∴∠CMN=∠EAM，
在△AEM和△MCN中：
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MCN}\\{AE=CM}\\{∠EAM=∠CMN}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；
（2）结论：仍然成立．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，熟练掌握其性质并能够运用所学知识证明三角形的全等问题．