题目内容

如图，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD为对角线的矩形ABDC内部（不在各边上）的一个动点，点C在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．
（1）能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向？请说明理由．
（2）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、E（F在E的左侧），△EAO与△FAO的面积之差为3，且这条抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
7
2
，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．（本题的图形仅供分析参考用）
（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax2+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax2+bx+1的开口向下．

（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x1，0）、E（x2，0），
则x1＜0，x2＞0
S△AEO=
1
2
OE•OA=
1
2
x2；
S△AFO=
1
2
OF•OA=-
1
2
x1
∵S△AEO-S△AFO=3
∴
1
2
x2-（-
1
2
x1）=3，即x1+x2=6
∵x1+x2=
-b+
b2-4a
2a
+
-b-
b2-4a
2a
=-
b
a

∴-
b
a
=6，即b=-6a①
另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得
1=0k+m
3=4k+m
，解得
k=
1
2
m=1
，∴y=
1
2
x+1
由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
7
2
，所以纵坐标=
1
2
×
7
2
+1=
11
4

把点（
7
2
，
11
4
）的坐标代入y=ax2+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得a=-
1
5
，b=
6
5
．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中给定以下五个点A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（
1
2
，
7
4
），E（1，0）．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，-1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点．
（1）若m=1，抛物线y=ax2+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．
如图，抛物线y=-
4
5
x2+
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5
x-4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
6
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，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2-x+n的对称轴是直线x=2．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，
PE
PF
的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出
PE
PF
的值．
②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的
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？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．
二次函数y=ax2的图象过（2，1），则二次函数的表达式为______．

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