Question

【题目】在中，，是边上的高．

问题发现：

（1）如图1，若，点是线段上一个动点（点不与点，重合）连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，我们会发现、、之间的数量关系是，请你证明这个结论；

提出猜想：

（2）如图2，若，点是线段上一个动点（点不与点，重合）连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，猜想线段、、之间的数量关系是_______；

拓广探索：

（3）若，（为常数），点是线段上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）依据等角的余角相等得到∠ACE=∠BCF，进而由旋转的性质可得CE=CF，至此结合SAS易证得△ACE≌△BCF，则有AE=BF，利用BE+AE=AB可得到BE+BF=AB；

（2）由于△ABC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质得到CD=12AB，由此再进行等量代换即可得到CD、BF、BE之间的数量关系；

（3）结合题意可知△ABC为等边三角形，则有CD=3AB，至此再结合BE+BF=AB即可解答本题，同理可求解.

解：（1）在中，，，，

∴，

由旋转知，，，

∵，

∴，

∴，

即：

∵，

∴，∴，

∵，

∴；

（2）在中，，，

∴，

在中，，，

∴

由旋转知，，，

∵，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）如图3，

由旋转知，，，

∵，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴．