Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线下方抛物线上的一点，过点作的平行线交抛物线于点（点在点右侧），连结、，当的面积为面积的一半时，求点的坐标；

（3）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的右侧交点为，当与相似，求出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由对称性求得点，待定系数即可求得二次函数解析式；

（2）由题可知，设出直线的方程，联立二次函数的解析式，由韦达定理即可容易求得.

（3）由平移的性质，结合，求得的方程组，求解即可.

解：（1）由对称性可知，

设抛物线解析式为，

代入，得，

∴；

（2）由平行线间距离处处相等可知，

当的面积为面积的一半时，，

∵，∴，

即，

∵直线的解析式为，，

设直线的解析式为，

则，，

联立，得，则，

∵，

∴，，

∴点

（3）由，，得直线的解析式为，

设点坐标为，由平移的性质可知：，

平移距离为，∴，

当与相似，只有，

∴，

过点作的平行线，交原抛物线于点，连结，

四边形为平行四边形，点的纵坐标为，

设点的横坐标为，则点坐标，

∴，①

将点代入，得：

，②

联立方程①②，解得：，

，（舍去负值），

∴．