Question

如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l₁和l₂上的动点，MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）

• A．MN=

  4 3

  3

• B．l₁和l₂的距离为2
• C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
• D．若MN与⊙O相切，则AM=

  3

Answer 1

分析：首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN=

CN

sin60°

=

4 3

3

，l₁和l₂的距离为2；
若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO=NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；
由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM=

3

或

3

3

．

解答：解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，
∴CN=AB=2，
∵∠1=60°，
∴MN=

CN

sin60°

=

4 3

3

，
故A与B正确；
如图3，
若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．
故C正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，
∴∠AMO=

1

2

∠1=30°，
∴AM=

3

；
∵∠AM′O=60°，
∴AM′=

3

3

，
∴若MN与⊙O相切，则AM=

3

或

3

3

；
故D错误．
故选D．

点评：此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．