Question

【题目】已知：在内角不确定的△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．

当＝时，sinB＝；

当＝时，sinB＝(提示：＝)；当＝时，sinB＝．

（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当＝时，sinB的值等于______；

（2）当＝时(n是大于1的自然数)，请用含n的代数式表示sinB＝______，并画出图形、写出已知、求证和证明过程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【解析】

(1) 的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以的分母的算术平方根，根据规律直接写出答案即可；

(2) 由已知条件先写出已知和求证，再进行证明：
要想表示出sinB，需证明△AEM∽△ABN，得出，再设EM=k，则BN=nk，作EH∥MN交BC于H，则HN=EM=k．由勾股定理得，即可得出sinB的值；

解：(1)根据规律，当＝时，

sinB=，

故当＝时，sinB的值等于　

(2)．

已知：在△ABC中，AB＝AC，EF∥BC，⊙O内切于梯形EBCF，点D、N、G、M为切点，＝时(n是大于1的自然数)，如下图．

求证：sinB＝．

证明：连结AO并延长与BC相交．

∵　⊙O内切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切线，

∴　∠BAO＝∠CAO，

∵　EF∥BC，AB＝AC，

∴　AE＝AF．

又∵M、N为切点，

∴　OM⊥EF，ON⊥BC．

∴　AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．

∵　EF∥BC，

∴　EM∥BN．

∴　△AEM∽△ABN，

∴　，

设EM＝k，则BN＝nk．

作EH∥MN交BC于H，则HN＝EM＝k．

∵　D、N、M为切点，

∴　BD＝BN＝nk，ED＝EM＝k．

在△EHB中，∠EHB＝∠MNB＝90°，

BE＝BD＋DE＝(n＋1)k，

BH＝BN-HN＝(n-1)k．

由勾股定理，得EH＝2·k．

∴sinB＝．