Question

    如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²－7x＋12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.

（1）求A、B两点的坐标.

（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.

（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

                     　　　　　　              

                       

 

Answer 1

解：（1）x²－7 x +12=0

        解得x₁=3，x₂=4            ----------------------------------------------------（1分）

         ∵OA＜OB       

 ∴OA=3 , OB=4

         ∴A(0,3) , B(4,0)         --------------------------------------------------（2分）

        

图1                                      图2

(2)       由题意得，AP=t,  AQ=5-2t

可分两种情况讨论：

①       当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB

如图1     =

          解得 t=         --------------------------------------------------（1分）  

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

②        当 ∠AQP=∠AOB 时， △APQ∽△ABO

     如图2    =

         解得  t=         --------------------------------------------------（1分）

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

（3） 存在   M₁（，）， M₂（，），M₃（－，）---------------（3分）