题目内容
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（6，0），若将经过B、C两点的直线y=mx+n沿y轴向下平移6则恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=4．（1）求抛物线及直线BC的解析式；
（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△ACP的面积分别是S△ABP、S△ACP，且S△ABP=
S△ACP，求点P的坐标；（3）设⊙Q的半径为2，圆心Q在抛物线上运动．则在运动过程中，是否存在圆Q与坐标轴相切的情况，若存在，请求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）在（3）的情况下，设⊙Q的半径为r，是否存在与两坐标轴同时相切的圆，若存在，求出半径r的值，若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据直线平移的规律，求出C点坐标，再根据函数对称轴为x=4，与y轴交点坐标为（0，6），利用待定系数法求出函数解析式；
（2）设P（x′，-x′+6），由S△ABP=
S△ACP得：S△ABP=
（S△ABC-S△ABP），据此建立关于x′的方程，解方程即可求出函数解析式；
（3）分两种情况讨论：①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=2，即x=±2．据此求出y的值；②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=2，即y=±2．据此求出x的值．
解答：
解：（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，
∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴
，
解之得：
，
∴抛物线的函数解析式为
．
注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S△ABP=
S△ACP得：S△ABP=
（S△ABC-S△ABP），
∴5S△ABP=2S△ABC．
5×
（6-2）（-x′+6）=2×
×（6-2）×6，
解之得：x′=
，
∴P（
，
）．
（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x，y）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=2，即x=±2．
当x=-2时，
∴
，
∴Q1（-2，16）．
当x=2时，
，
∴Q2（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=2，即y=±2．
当y=-2时，有
，解之得x=4．
∴Q3（4，-2）．
当y=2时，有
，
解之得，
．
∴Q4（
，2），Q5（
，2）．
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-2，16）、Q2（2，0）、Q3（4，-2）、Q4（
，2）、Q5（
，2）．
（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x1，y1）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y1|=|x1|=r，即y1=±x1．
由y1=x1，得
，即
，
解之得：
．
∴
．
由y1=-x1，得
，
即
．
此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径
．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、切线的判定和性质，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
（2）设P（x′，-x′+6），由S△ABP=
S△ACP得：S△ABP=（S△ABC-S△ABP），据此建立关于x′的方程，解方程即可求出函数解析式；（3）分两种情况讨论：①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=2，即x=±2．据此求出y的值；②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=2，即y=±2．据此求出x的值．
解答：
解：（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴
，解之得：
，∴抛物线的函数解析式为
．注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S△ABP=
S△ACP得：S△ABP=（S△ABC-S△ABP），∴5S△ABP=2S△ABC．
5×
（6-2）（-x′+6）=2××（6-2）×6，解之得：x′=
，∴P（
，）．（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x，y）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=2，即x=±2．
当x=-2时，
∴
，∴Q1（-2，16）．
当x=2时，
，∴Q2（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=2，即y=±2．
当y=-2时，有
，解之得x=4．∴Q3（4，-2）．
当y=2时，有
，解之得，
．∴Q4（
，2），Q5（，2）．综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-2，16）、Q2（2，0）、Q3（4，-2）、Q4（
，2）、Q5（，2）．（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x1，y1）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y1|=|x1|=r，即y1=±x1．
由y1=x1，得
，即，解之得：
．∴
．由y1=-x1，得
，即
．此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径
．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、切线的判定和性质，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
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