Question

【题目】如图1， 矩形中，点在上，连接，作分别交于于．

（1）若求的长；

（2）如图2，取的中点，连接交于，若

②求证：

②求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析

【解析】

（1）根据勾股定理得出AC和EC的长度，由垂直平分线可得EF=BF，最后根据勾股定理即可求出FC的长度.

（2）①过作，交于，求证即可得到MN=2CN.

②延长交于,易证得BM=2CP,进而证明得到，最后就可证明出

解：如图，连接，

∵AB=AE=4,BC=3,

∴，EC=AC-AE=1

，

∴BG=GE，即AF为的垂直平分线，

，

，

在中，，

即，

解得，

①过作，交于，

为中点，

∴MH是△ABE的中位线

∴BE=2MH

，

，

∴

，

∴，即，

②延长交于，

∵四边形ABCD为矩形,

∴AB∥DC,

∴∠NMB=∠NCP,∠NPC=∠NBM,

∴，，

，

∵ ,

∴∠PGF=∠ABF,

又∵∠AFB=∠GFB，

∴

∵∠ABF=∠BCP

∴，

，

即，

，

，

即．