Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；

(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²＋PB²＋PC²＝35，求点P的坐标.

Answer 1

解：

（1）∵抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），

     ∴设抛物线的解析式为线。

     ∵点B（3，0）在抛物线上，∴，解得

     ∴该抛物线的解析式为，即

（2）在中令x=0，得,∴C（0，3）

 ∴OB=OC=3  ∴∠ABC=45^。

过点B作BN⊥x轴交CD于点N，

则∠ABC=∠NBC=45^。

∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，

∴∠ACB=∠NCB

 又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB

∴BN=BA

∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），

∴A（1，0）

∴BN=BA=2  ,∴N（3，2）

设直线CD的解析式为，

∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，

∴，解得，

∴直线CD的解析式为

（3）设P（2，p）

∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3），

∴根据勾股定理，得，，

∵PM²＋PB²＋PC²＝35，∴

 整理，得，解得.

 ∴P（2，－2）或（2，）.