Question

9．如图，AE∥BF，小王沿路线E→A→P₁→B→F从E走到F，小李沿路线E→A→P₁→P₂→B→F从E走到F，小徐沿路线E→A→P₁→P₂→P₃→B→F从E走到F．在走的过程中，小王说他转过的角度最少，小徐说他转过的角度最多，小李说他们三人转过的角度一样多．你认为他们三人的说法有道理吗？为什么？

Answer 1

分析 连接AB，如图1、图2、图3，可利用平行线的性质和多边形的内角和定理求出∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF、∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF、∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF的度数，而小王、小李、小徐转过的角度又分别是这些角补角的和，从而可求出他们转过的角度，问题得以解决，

解答 解：小李说法正确．
①连接AB，如图1，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₁BA=180°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF=360°．
∴小王转过的角度为180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₁BF
=540°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF）=540°-360°
=180°；
②连接AB，如图2，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₂+∠P₂BA=360°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF=540°．
∴小李转过的角度为180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₂+180°-∠P₂BF
=720°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF）
=720°-540°
=180°；
③连接AB，如图3，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BA=540°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF=720°．
∴小徐转过的角度为180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₂+180°-∠P₃+180°-∠P₃BF
=900°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF）
=900°-720°
=180°；
综上所述：他们三人转过的角度一样多，小李说法正确．

点评 本题主要考查了平行线的性质、多边形的内角和定理、邻补角等知识，弄清三人转过的角度与图中角的关系，是解决本题的关键．