题目内容

如图，点D为线段AB上一点，且AD²=BD•AB，我们说点D是线段AB的黄金分割点，为了探求AD与AB的关系，把BD=AB-AD代入得AD²=（AB-AD）•AB，整理得AD²+AB•AD-AB²=0，利用求根公式并舍去负值得AD= $数学公式$ AB≈0.618AB，数学上把 $数学公式$ 称为黄金数．
（1）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，BC=AD
①点D是AB的黄金分割点吗？（填“是”或“不是”）
②sinA=．
（2）定义：我们把五个元素分别相等的两个不全等三角形称为一对奇异三角形．显然奇异三角形相等的元素只能是三个角和两条边，且任一对对应边不可能相等，这对三角形也不可能是等腰的．
①上图中Rt△ADC与Rt△ABC是否是一对奇异三角形__（填“是”或“不是”）
②请你构造出一对奇异三角形（只要写出每个三角形的三条边即可）．

解：（1）①∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，
∴△ABC∽△CBD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BC²=AB•BD，
∵BC=AD
∴AD²=AB•BD，故D是AB的黄金分割点．
故答案是：是；
②设AB=1，则AD=BC= $\text{[math]}$ ，
故sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案是： $\text{[math]}$ ；

（2）①Rt△ADC与Rt△ABC中三个角对应相等，且AC=AC，AD=BC，则两个三角形是奇异三角形．
故答案是：是；
②一个三角形的三边长是2， $\text{[math]}$ -1， $\text{[math]}$ ；另一个三角形的三边长是： $\text{[math]}$ -1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（答案不唯一）．
分析：（1）①证明△ABC∽△CBD，即可证得AD²=BC²=AB•BD，从而证得；
②设AB=1，则AD=BC= $\text{[math]}$ ，根据正弦函数的定义即可求解；
（2）①根据奇异三角形的定义即可作出判断；
②根据①的结论，设AB的一个长度，根据D是黄金分割点即可求得AD，即BC的长度，利用①的结论即可求解．（答案不唯一）．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题目中的两个定义是关键．