Question

如图，在平面直角坐标系中，A点在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，矩形OABC的顶点B在第一象限内，D点在AB边上，BD=3AD，连接OB，作直线CD，又知OB=10，tan∠AOB=

4

3

．
（1）求直线CD的解析式；
（2）动点P从O点出发，沿OA以每秒2个单位长的速度向终点A匀速运动，同时，动点Q从A点出发，沿AB以每秒1个单位长的速度匀速运动到D点后，又以每秒6个单位长的速度继续向终点B匀速运动．连接PQ、OQ，设P、Q运动的时间为t（秒），△POQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CP、CQ，问是否存在这样的t值，使得∠OPC=∠OQC？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由四边形OABC是矩形，OB=10，tan∠AOB=

4

3

，易求得OA，OB的长，又由BD=3AD，则可求得点C与D的坐标，然后由待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（2）分别从当0＜t≤2时，AQ=t，OP=2t与当2＜t＜3时，AQ=2+6（t-2）=6t-10，OP=2t去分析求解即可求得答案；
（3）由∠OPC=∠OQC，可得点O，P，Q，C共圆，然后由圆的内接四边形的性质，即可得∠PQC=90°，即可证得△BCQ∽△AQP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
∵OB=10，tan∠AOB=

4

3

，
∴sin∠AOB=

4

5

，cos∠AOB=

3

5

，
∴OA=OB•cos∠AOB=8，AB=OB•sin∠AOB=6，
∵BD=3AD，
∴AD=2，BD=6，
∴OC=AB=8，
∴D（6，2），C（0，8），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，

6k+b=2 b=8

，
解得：

k=-1 b=8

，
∴直线CD的解析式为：y=-x+8；

（2）如图1，当0＜t≤2时，则AQ=t，OP=2t，
则S_△OPQ=

1

2

OP•AQ=

1

2

×2t×t=t²；
如图2，当2＜t≤3时，则AQ=2+6（t-2）=6t-10，OP=2t，
则S_△OPQ=

1

2

OP•AQ=

1

2

×2t×（6t-10）=6t²-10t；
∴S与t之间的函数关系式为：S=

t2      (0＜t≤2) 6t2-10t  (2＜t≤3)

；

（3）存在．
理由：∵∠OPC=∠OQC，
∴点O，P，Q，C共圆，
∴∠PQC+∠POC=180°，
∴∠PQC=90°，
∴∠BQC+∠AQP=90°，
∵∠CBD=∠PAQ=90°，
∴∠BQC+∠BCQ=90°，
∴∠BCQ=∠PQA，
∴△BCQ∽△AQP，
∴

AP

BQ

=

AQ

BC

；
∵OP=2t，
∴AP=OA-OP=6-2t，
如图3，当0＜t≤2时，
∵AQ=t，
∴BQ=8-t，
∴

6-2t

8-t

=

t

6

，
解得：t=2或t=18（舍去）；
如图4，当2＜t≤3时，
∵AQ=6t-10，
∴BQ=8-（6t-10）=18-6t，
∴

6-2t

18-6t

=

6t-10

6

，
解得：t=2（舍去）．
综上可得：当t=2时，使得∠OPC=∠OQC．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、矩形的性质、三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．