Question

如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当0＜t＜

5

2

时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、D、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）当0＜t＜

5

2

时，点C不过OA中点，想证明垂直应先作出一条和CD有关的垂线，利用相似求解．
（2）应分当0＜t＜

5

2

时，和

5

2

≤t＜5时两种情况探讨，应用t表示利用特殊的三角函数表示出OC边上的高．进而表示出面积即可．
（3）以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，那么应根据（1）（2）中的两种类型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE两种情况进行探讨．

解答：解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OC

OD

=

OG

OB

．
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA．

（2）当0＜t＜

5

2

时，
在Rt△OCD中，
CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t．
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
当

5

2

≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t）．
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²．

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

．
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1．
因此AE=

5-t

2

=2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，

3

）．
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

．
∴2t-5=

5

2

．
∴t=

15

4

．
因此AE=

5-t

2

=

5

8

．
∴E的纵坐标为

5

8

×

3

2

=

5

16

3

，
横坐标为5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴点E的坐标为（

75

16

，

5

16

3

）．
综上所述，点E的坐标为（4，

3

）或（

75

16

，

5

16

3

）．

点评：本题是一道旋转与运动相结合的大题，并且联系函数与四边形知识，要注意这些知识点间的融会贯通．