Question

如图所示，是的内接三角形，， 为中弧AB上一点，延长至点，使．

（1）求证：；
（2）若，求证：．

Answer 1

(1)详见解析；（2）详见解析.

试题分析：(1)由题意知，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，根据“同弧所对的圆周角相等”可知，∠ABC=∠ADC,由此可得，∠ACE=∠BCD,结合已知条件，利用“SAS”可证⊿ACE≌⊿BCD,所以有AE=BD.(2)若AC⊥BC,则有（1）的结论可知，∠DCE=90°，DE=AD+BD,又已知CD=CE,所以三角形DCE是等腰直角三角形，DE=CD,所以得证.规律：在解决圆中的线段相等关系或角相等时，常常要借助于三角形全等.

试题解析：证明：(1)由同弧所对的圆周角相等，知∠∠.
∵,,∴ ∠∠∠∠，
∴ ∠∠,
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即：∠∠.
又∵,,
∴ △≌△. ∴         5分
(2) ∵ ，∴
∵ ,∴ ∠, ∴ ∠∠.
由勾股定理，得
又∵, ∴ ，∴ ,
∴ .     10分