Question

【题目】定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点. 例如，在函数中，当时，无论取何值，函数值，所以这个函数的图象过定点.

求解体验

（1）①关于的一次函数的图象过定点_________.

②关于的二次函数的图象过定点_________和_________.

知识应用

（2）若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点且，试求直线所过的定点.

拓展应用

（3）若直线与拋物线交于、两点，试在拋物线上找一定点，使，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）直线上的定点为；（3）点为

【解析】

（1）①由可得y=k(x+3),当x=﹣3时，y=0,故过定点（﹣3,0），即可得出答案.

②由，当x=0或x=1时，可得y＝2020，即可得出答案.

（2）由题意可得，直线AB的函数式 ，根据相似三角形的判定可得，进而根据相似三角形的性质可得，代入即可得出直线AB的函数式，当x=0时，y=﹣2，进而得出答案.

（3）由、可得直线的解析式为，又由直线，可得c+d和cd的值，最后根据相似三角形的性质以及判定，列出方程，即可得出E的坐标.

解：（1）①；②.

提示：①，当时，，故过定点.

②，当或1时，，

故过定点.

（2）设直线的解析式为，将点的坐标代入并解得直线的解析式为.

如图，分别过点作轴的垂线于点，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，解得，

故直线的解析式为.

当时，，故直线上的定点为.

（3）∵点的坐标分别为，，

同（2）可得直线的解析式为，

∵，

∴.

设点，如图，过点作直线轴，过点作直线的垂线与直线分别交于点.

同（2）可得，，

∴，

即，

化简得，

即，

当时，上式恒成立，

故定点为.