Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E，求证：DE=

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BC．

Answer 1

分析：连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE=DE，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE．

解答：证明：连接BD，
∵AB是直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BDC=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=BE（切线长定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE，
∴DE=

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2

BC．

点评：本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接BD构造直角三角形．