题目内容

观察下列等式：
1.
1
2
=
0+
1
2
，2.
1
3
= 
1+
1
3
，3.
1
4
=
2+
1
4
，4.
1
5
=
3+
1
5
，…
（1）根据以上规律猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式是否成立？
分析：（1）根据所给的信息是每个数就等于根号下的第一项是原数分母减去2后，再与原数相加即可；
（2）再根据（1）所得的结论把n乘进去，再进行分解即可证出正确结论；
解答：解：（1）n个等式为：n.
1
n+1
=
(n-1)+
1
n+1
；
（2）由n.
1
n+1
=
n2
n+1
=
n2-1+1
n+1
=
n2-1
n+1
+
1
n+1
=
(n-1)+
1
n+1
；
点评：此题考查了数字的变化类；解题的关键是让学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
练习册系列答案
相关题目
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
…
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

将以上等式相加得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
n+1
．
用上述方法计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101
其结果为（　　）
A、
50
101
B、
49
101
C、
100
101
D、
99
101
2、观察下列等式：2=2=1×2；2+4=6=2×3；2+4+6=12=3×4；2+4+6+8=20=4×5；…
（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是
n（n+1）
；
（2）当n=10时，从2开始到第10个连续偶数的和是
110
．
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…用自然数n将上面式子的一般规律表示为
 
．
观察下列等式，找出规律然后空格处填上具体的数字．1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，1+3+5+7+9+11=
 
．
（1）第5个式子等号右边应填的数是
 
．
（2）根据规律填空1+3+5+7+9+…+99=
 
．
观察下列等式：
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
…
则1+3+5+…+15=
8
8
2
并请你将想到的规律用含有n（n是正整数）的等式来表示就是：
1+3+5+7+…+（2n-1）=n2
1+3+5+7+…+（2n-1）=n2
．

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