Question

如图：已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y 轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点 P（x，y），且S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB。  

 （1）S_△AOB_____S_矩形EOFP（填“>”“=”或 “<”），y与x的函数关系是____（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当x=时，求∠MON的度数；
（3）证明：∠MON的度数为定值。

Answer 1

解：（1）=；y=， （1）当x=时， ∴点P的坐标为， 可得四边形EOFP为正方形（如图（1））， 过点D作OH⊥AB于H， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=1， ∴，  H为AB的中点， ∴， 在Rt△EMO和Rt△HMO中，   ∴Rt△EMO≌Rt△HMO， ∴∠1=∠2， 同理可证∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴∠2+∠3=45°， ∴∠MON=45 °
（3）证明：如图（2），过点O作OH⊥AB 于H， 依题意，可得OE=y=，EM=1-y=1-， HN=HB-NB=， ∴EM/OE=HN/OH， 又∵∠OEM=∠OHN=90°， ∴△EMO∽△HNO， ∴∠1=∠3， 同理可证∠2=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴∠2+∠3 =45°， 即∠MON=45°。