Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，动点沿边从向以每秒的速度运动，同时动点沿边从向以同样的速度运动，连接、交于点.

（1）试探索线段、的关系，写出你的结论并说明理由；

（2）连接、，分别取、、、的中点、、、，则四边形是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由.

（3）如图②当点运动到中点时，点是直线上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AF=DE，AF⊥DE，理由详见解析；（2）四边形HIJK为正方形，理由详见解析；（3）N的坐标为（2，－1），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）用SAS证明△DAE≌△AOF，根据全等三角形的性质得到DE=AF，∠ADE=∠OAF．根据等式的性质得到∠AGD=90°，从而得到AF⊥DE．

（2）根据三角形中位线定理得到IH=KJ=AF，IH∥KJ，得到四边形HIJK为平行四边形，同理IJ=DE，IJ∥DE，从而得到IJ=IH，IJ⊥IH，即可证明HIJK为正方形．

（3）要求O、C、M、N四点构成菱形，OC为唯一已知线段，对OC的角色进行讨论：OC为对角线或OC为边．

当OC为对角线时，此时MN也为对角线，MN垂直平分OC，则M为OC中垂线与直线EC交点，可得M1的坐标，由对称可得此时N1的坐标．

当OC为边时，考虑M的位置，M与O相邻或者与C相邻．

Ⅰ．若M与C相邻，CM=CO=4，此时以C为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2和M3，过M2作M2P⊥OC于点P，得到OE∥PM2，即有△OEC∽△PM2C．根据相似三角形的对应边成比例，即可求出PM2，PC的长，进而得到OP的长．由N2M2∥OC，N2M2=OC，即可得到N2的坐标，由N3和N2关于原点对称，可得N3的坐标；

Ⅱ．若M与O相邻，OM=OC=4此时以O为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4．求出直线EC的解析式，则可得出M4的坐标，由OM4=4，解方程即可得出M4的坐标，从而得出N4的坐标．

（1）AF=DE，AF⊥DE．理由如下：

∵E、F速度相等，∴AE=OF．

∵OADC是正方形，∴AD=OA，∠DAE=∠AOF=90°，∴△DAE≌△AOF（SAS），∴DE=AF，∠ADE=∠OAF．

∵∠OAF+∠DAF=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE，∴AF=DE，AF⊥DE．

（2）四边形HIJK为正方形．理由如下：

由（1）知：AF=DE，AF⊥DE．

∵HI是△AEF的中位线、JK是△AFD的中位线，∴IH=AF，IH∥AF，KJ=AF，KJ∥AF，∴IH=KJ，IH∥KJ，∴四边形HIJK为平行四边形，同理IJ=DE，IJ∥DE．

∵AF=DE，AF⊥DE，∴IJ=IH，IJ⊥IH，∴四边形HIJK为正方形．

（3）N的坐标为（2，－1），（，），（，），（，）．

要求O、C、M、N四点构成菱形，OC为唯一已知线段，对OC的角色进行讨论：OC为对角线或OC为边．

当OC为对角线时，此时MN也为对角线，MN垂直平分OC，则M为OC中垂线与直线EC交点，可得M1（2，1）由对称可得此时N1（2，－1）．

②当OC为边时，考虑M的位置，M与O相邻或者与C相邻．

Ⅰ．若M与C相邻，CM=CO=4，此时以C为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2和M3，过M2作M2P⊥OC于点P，∴OE∥PM2，∴△OEC∽△PM2C．

∵OE=2，OC=4，∴EC=．

∵△OEC∽△PM2C，∴，∴，解得：PM2=，PC=，∴OP=OC－PC=．

∵N2M2∥OC，N2M2=OC，∴N2（，），易证N3和N2关于原点对称，∴N3（，）．

Ⅱ．若M与O相邻，OM=OC=4此时以O为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4．

设直线EC为y=kx+b，∴，解得：，∴直线EC为．

设M4（x，），则，解得：，，∴M4（，），∴N4（，）．

综上所述：N的坐标为（2，－1），（，），（，），（，）．