Question

已知抛物线y=ax²+bx+c ，当x=0时，有最小值为1 ；且在直线y=2上截得的线段长为4 .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线的任意一点，记点P到X轴的距离为d₁ ，点P 与点 F （0，2）的距离为d ₂  ，猜想d₁、 d ₂ 的大小关系，并证明；

（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。 试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）求此抛物线的解析式：  y=              

（2）猜想：d₁ = d ₂ .                               

设d的坐标为（x, 0.25x²+1）

d₁=  

 = ｜0.25x²+1 |

∴d₁=           

(3) 以PQ为直径的圆与x 轴相切                

设Q到x轴的距离为m，到F的距离为n，

根据（2）的结论，有m=n，

过PQ的中点作x的垂线，设其长度为h，

易得h=（m+d₁），

同时有PQ=（n+d₂）=（m+d₁），

为h的2倍，

故以PQ为直径的圆与x轴相切.                                      

【解析】（1）由x=0时，有最小值为1得（0，1）点经过抛物线，由在直线y=2上截得的线段长为4得出（2，2）、（-2，2）点经过抛物线，把这三点代入求出抛物线的解析式；

（2）由勾股定理即可d₁ = ；

（3）由（2）的结论，找PQ的中点到x轴的距离与PQ的大小关系，容易证得两者相等；故以PQ为直径的圆与x轴相切．