Question

如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．

（2）由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；
（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．