Question

已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三

角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

四边形PQMN为菱形．证明如下：

如图，连结AC、BD．

∵  PQ为△ABC的中位线，

∴  PQ AC．

同理  MNAC．

∴  MNPQ，

∴  四边形PQMN为平行四边形．

在△AEC和△DEB中，

AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，

即  ∠AEC＝∠DEB．

∴  △AEC≌△DEB．

∴  AC＝BD．

∴  PQ＝AC＝BD＝PN．

∴  □PQMN为菱形．