Question

6．如图，已知二次函数y=ax²-2x-3交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于C点，且OB=OC，抛物线的对称轴交BC于点P．
（1）求a的值和P点坐标；
（2）在x轴正半轴上取一点Q，使∠OPQ=∠OBC，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定C点坐标，再根据OB=OC确定B点坐标，将B点坐标代入抛物线解析式确定a，并得出对称轴方程，算出直线BC解析式，与对称轴相交得出P点坐标．
（2）由OB=OC可知∠OBC=45°，则∠OPQ=∠OBC=45°，此时△OCP∽△PBQ，利用相似比算出BQ长度，坐标自然确定．

解答 解：（1）令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵OB=OC，
∴B（3，0），
将B点坐标代入二次函数解析式可得：a=1，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴对称轴方程为x=1，
∵C（0，-3），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴P点坐标为（1，-2）．

（2）如图，

∵OC=OB=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵P（1，-2），C（0，-3），
∴PC=$\sqrt{2}$，
∴BP=2$\sqrt{2}$，
∵∠OPQ=∠OBC=45°，
∴∠CPO+∠QPB=135°，
∵∠QPB+∠PQB=135°，
∴∠PQB=∠OPC，
∴△PQB∽△OPC，
∴$\frac{BQ}{PB}=\frac{CP}{OC}$，
∴BQ=$\frac{4}{3}$，
∴OQ=$\frac{8}{3}$，
∴Q（$\frac{8}{3}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、对称轴公式、相似三角形的判定与性质等知识点，难度不大．第（2）问当中，识别出△PQB∽△OPC是关键．