Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）连接OB,由AC是⊙O的直径可得∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.再由OA=OB可得∠BAC=∠OBA. 又因∠PBA=∠C，所以∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.即可判定PB是⊙O的切线．（2）可证△ABC∽△PBO，根据相似三角形的性质即可求BC的长．

试题解析： （1）证明：如图所示，连接OB.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA.

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.

∴PB是⊙O的切线．

（2）解：⊙O的半径为，∴OB=，AC=．

∵OP∥BC，

∴∠BOP=∠OBC=∠C.

又∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴，即.

∴BC=2．