Question

已知a，b，c为实数，且a²+b²+c²+2ab=1，2ab（a²+b²+c²）=

1

4

，一元二次方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两根为α，β．试求2α³+β^-5-β^-1的值．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系可以把a²+b²+c²和2ab看作是方程t²-t+

1

4

=0的两根，求得两根后，则有a²+b²+c²-2ab=0，（a-b）²+c²=0，因此根据几个非负数的和为0，则它们同时为0，求得a，b，c的值，再进一步得到关于x的方程，再根据根与系数的关系变形求解．

解答：解：由已知

(a2+b2+c2)+2ab=1 2ab(a2+b2+c2)= 1 4

，
得a²+b²+c²及2ab是方程t²-t+

1

4

=0的两根．
而方程t²-t+

1

4

=0的两根为t₁=t₂=

1

2

，
∴a²+b²+c²=2ab=

1

2

．
解得a=b=±

1

2

，c=0，
于是，题设方程可化为x²-x-1=0①．
由α，β是方程①的两根，
则α+β=1，且

α2-α-1=0② β2-β-1=0③

．
由②得α²=α+1，
从而α³=α•α²=α（α+1）=α²+α=2α+1．
显然β≠0，
将③两边分别除以β，β²．
得

1

β

=β-1，

1

β2

=1-

1

β

=2-β．
而β^-3=β^-1•β-2=（β-1）（2-β）=3β-β²-2=2β-3．
β^-5=β^-2•β^-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β²-6=7β-2（β+1）-6=5β-8．
∴2α³+β^-5-β^-1=4（α+β）-5=-1．

点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．