Question

【题目】已知抛物线的顶点为点．

（1）求证：不论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点；

（2）若抛物线的对称轴为直线，求的值和点坐标；

（3）如图，直线与（2）中的抛物线并于两点，并与它的对称轴交于点，直线交直线于点，交抛物线于点．求当为何值时，以为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），点坐标为；（3）或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

（1）从的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；

（2）根据抛物线的对称轴来求的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点的坐标；

（3）根据平行四边形的性质得到：．

需要分类讨论：①当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值；

②当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值．

解：（1），

∵不论为何实数，总有，

，

∴无论为何实数，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，

∴无论为何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．

（2）抛物线的对称轴为直线，

，即，

此时，抛物线的解析式为，

∴顶点坐标为；

（3）为顶点的四边形是平行四边形，

四边形是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形（直线在抛物线的下方），如图所示，

由已知，

，

，

，

①当四边形是平行四边形，

，

整理得，，

解得（不合题意，舍去），；

②当四边形是平行四边形，

，

整理得，

解得，，

综上，或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形．