Question

【题目】如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设点运动的时间为.

（1）当点在线段上运动时，_________，当点在线段的延长线上运动时，_________（请用含的式子表示）；

（2）在整个运动过程中，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；

（3）求当_________时，，两点间的距离最小.

Answer 1

【答案】（1）9－2t，2t－9；（2）t的值为3或9；（3）t=4.5．

【解析】

（1）求出运动路线BF的长度，分当F在线段BC上时，CF=BC－BF，当F在线段的延长线上运动时，CF=BF－BC，求解即可；

（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；

（3）当，两点间的距离最小时，即EF⊥BC，取线段BC的中点D，四边形ADFE是矩形，利用AE=DF可得方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵运动时间为，

∴，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=9，

∴当点F在线段BC上运动时，CF=9－2t，

当点F在线段BC的延长线上运动时，CF=2t－9；

故答案为：9－2t，2t－9；

（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得：

CF=9－2t，AE=t，

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，

即t=9－2t，

解得：t=3；

当点F在C的右侧时，根据题意得：

CF=2t－9，

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即2t－9=t，

解得：t=9，

综上可得：当以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为3或9；

（3）若E，F两点间的距离最小，

则EF⊥BC，

过A作AD⊥BC于D，则AD也是BC边的中线，

∵AB=BC=AC=9，

∴BD=CD=4.5，

∴DF=2t－4.5

∵AD⊥BC

∴四边形AEFD为矩形，

∴此时AE=DF，

∴t=2t－4.5，

解得t=4.5，

∴当t=4.5时，，两点间的距离最小；