Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
【小题1】当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
【小题2】当DE=8时，求线段EF的长；
【小题3】在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=；（4分）
【小题2】①若D在第一象限，连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE==6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，即，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，

连接OD，∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，OE=6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，即，
∴EF=12；
∴EF=3或12；
【小题3】设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，
∴E₁（，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴，即，解得：x=，
∴E₂（，0）；

②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，∴，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴，
而AD=2BE，
∴，
即，解得x₁=，x₂=＜0（舍去），
∴E₃（，0）；

③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连接BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴，
∴，解得x₁=（舍去），x₂=＜0，
∵点E在x轴负半轴上，∴E₄（，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）．（4分）

解析