题目内容

已知直线 $数学公式$ 与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B．
（1）求b的值；
（2）把△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，点A落在y轴的A′处，点B若在x轴的B′处．
①求直线A′B′的函数关系式；
②设直线AB与直线A′B′交于点C，矩形PQMN是△AB′C的内接矩形，其中点P，Q在线段AB′上，点M在线段B′C上，点N在线段AC上．若矩形PQMN的两条邻边的比为1：2，试求矩形PQMN的周长．

解：（1）由题意得
把A（-4，0）代入 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ；

（2）①由（1）得： $\text{[math]}$ ，
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）
由旋转性质可知OA'=OA=4，OB'=OB=2
∴A'（0，4），B'（2，0）
设直线A'B'的解析式为y=ax+b，
把A'、B'分别代入得： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴直线A'B'的解析式为y=-2x+4；
②∵点N在AC上
∴可设N（x， $\text{[math]}$ ）（-4＜x＜0）
∵四边形PQMN为矩形
∴NP=MQ= $\text{[math]}$
（ⅰ）当PN：PQ=1：2时
PQ=2PN= $\text{[math]}$
∴Q（x+4+x，0）
∴M（2x+4， $\text{[math]}$ ）
∵点M在B'C上
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
此时，PQ= $\text{[math]}$
∴矩形PQMN的周长为 $\text{[math]}$
（ⅱ）当PN：PQ=2：1时
PQ= $\text{[math]}$ PN= $\text{[math]}$
∴Q（ $\text{[math]}$ ，0）
M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∵点M在B'C上
∴ $\text{[math]}$
解得x=0
此时PN=2，PQ=1
∴矩形PQMN的周长为2（2+1）=6．
综上所述，当PN：PQ=1：2时，矩形PQMN的周长为8．
当PQ：PN=1：2时，矩形PQMN的周长为6．
分析：（1）点A在直线上，直接代入即可得b；
（2）①根据旋转性质确定旋转后A′B′坐标，即可得解析式；
②根据几何图形，确定P、Q、M、N四点的关系即可确定周长．
点评：本题考查待定系数法求一次函数及其坐标特征，并综合几何旋转性质应用，是个综合性比较高的题，要求要熟练掌握函数图象性质．