Question

在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-

10

，0)，点B在第二象限，OB=

10

，cot∠AOB=3（如图），一个二次函数y=ax²+b的图象经过点A、B．
（1）试确定点B的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）设这个二次函数图象的顶点为C，△ABO绕着点O按顺时针方向旋转，点B落在y轴的正半轴上的点D，点A落在点E上，试求sin∠ECD的值．

Answer 1

分析：（1）过点B作BH⊥AO，垂足为H，在Rt△BHO中，cot∠AOB=

OH

HB

=3，设HB=x，则OH=3x，由勾股定理求得x，从而确定点B的坐标；
（2）由二次函数y=ax²+b的图象经过点A、B，得方程组

(- 10 )2•a+b=0 (-3)2•a+b=1

，求出这个二次函数的解析式；
（3）根据题意，得∠AOB=∠EOC，点E在第二象限，过点E作EG⊥CO，垂足为G，确定点C、E的坐标，再再由勾股定理求出CE，从而得出求sin∠ECD的值．

解答：解：（1）过点B作BH⊥AO，垂足为H，
在Rt△BHO中，cot∠AOB=

OH

HB

=3，
设HB=x，则OH=3x，
∵OB=

10

，OH²+HB²=OB²，
∴(3x)2+x2=(

10

)2，
∴x=1，
∴HB=1，OH=3，（2分）
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标是（-3，1）；（1分）

（2）由二次函数y=ax²+b的图象经过点A、B，点A的坐标为(-

10

，0)，
∴

(- 10 )2•a+b=0 (-3)2•a+b=1

，（1分）
解此方程，得：

a=-1 b=10

，（2分）
∴这个二次函数的解析式是y=-x²+10；（1分）

（3）根据题意，得：∠AOB=∠EOC，点E在第二象限，
过点E作EG⊥CO，垂足为G，
与（1）的解法一样可得：点E的坐标是（-1，3），
∴EG=1，OG=3（1分），
由（2），得：这个二次函数y=-x²+10的图象的顶点是C（0，10），
∴OC=10，
∴CG=OC-OG=7，（1分）
在Rt△CGE中，CG²+EG²=CE²，
∴EC=5

2

（1分），
sin∠ECD=

EG

EC

=

1

5 2

=

2

10

（1分）．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及二次函数解析式的确定、抛物线的顶点公式和勾股定理等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．