Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝8，CD＝6，BC＝．在AB边上取动点P，连结DP，作PQ⊥DP，使PQ交射线BC于点E．设AP＝x，BE＝y．

(1)试写出y关于自变量x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)如果在线段AB上能找到不同的两点P₁、P₂，使按上述作法作得的点E都与点C重合，试求m的取值范围，并用m表示相应的AP₁、AP₂的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过点D作DF⊥AB，垂足为F，易证△BPE∽△FDP． 　　∴＝，即＝． 　　∴y＝－(x2－10x＋16)． 　　此即y关于自变量x的函数关系式． 　　(2)当E点与C点重合时，即y＝，则有x2－10x＋16＋m＝0． 　　据题意，m的取值应使这个关于x的方程有两个相异实根，且使点P1、P2都在线段AB上，于是有Δ＝(－10)2－4(16＋m)＝36－4m＞0，解之得m＜9．又据题意知m＞0，所以m的取值范围为0＜m＜9．而 　　x＝＝5±． 　　当0＜m＜9时，0＜9－m＜9，∴0＜＜3，∴2＜5±＜8，符合题意，故AP1＝5＋，AP2＝5－，或AP1＝5－，AP2＝5＋．

提示：

本题与上题在题型以及所考查的知识点方面有很多相近之处．需要注意的是，本题求得的函数关系式中，除含有自变量x外，还有一个以字母表示的量，这就是m．由于m也是可以变化的，所以所得的表达式也可以看成是x、m、y三个变量所满足的一个关系式．在第(2)小题中，要求点E与点C重合，这就相当于在上述关系式中令y＝，于是得到一个含参数m的关于x的二次方程，而所要求的AP1、AP2的长就是该方程的两个相异的实数根．这样，问题就转化为一个二次方程的根的讨论问题．需要注意的是，在求得AP1、AP2的长以后，必须考虑P1、P2是否在线段AB上，即在0＜m＜9的条件下，估计AP1、AP2的取值范围．这里主要涉及不等式的一些性质，经过讨论，问题才算得到圆满的解答．