Question

已知正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O．
（1）若E是AC上的点，过AC作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，如图，试判断OE与OF的数量关系，并说明你判断的理由．



（2）若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交BD的延长线于点F，如图，上述结论是否还成立吗？为什么？

Answer 1

（1）OE=OF，（1分）
∵正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EBO+∠BFG=90°，
∵∠BFG=∠AFO，
∴∠OAF=∠EBO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．（4分）

（2）OE=OF还成立，（5分）
∵正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BEO+∠EAG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．（8分）