题目内容

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA=DC，∠DBC=30°，DC=4cm．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

解：（1）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DBC=30°，
∴BD=2DC=2×4=8（cm）；

（2）连接AO，
∵DA=DC，
∴AD=AO=DO=4cm，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×4×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π-4 $\text{[math]}$ （cm²），
由题意可得：∠BDC=60°，
则∠ADE=60°，
又∵AE⊥CD，
∴∠EAD=30°，
∴DE= $\text{[math]}$ AD=2cm，
∴AE=2 $\text{[math]}$ cm，
∴图中阴影部分的面积为： $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ ×2-（ $\text{[math]}$ π-4 $\text{[math]}$ ）=6 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π（cm²）．
分析：（1）利用圆周角定理得出∠BCD=90°，进而得出BD的长；
（2）首先求出S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD的面积，进而得出AE，DE的长，即可得出答案．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及等边三角形的性质和扇形面积公式等知识，根据题意得出弓形AD的面积是解题关键．